Was genau bewiesen wurde, im Wortlaut des Abstracts (von uns lokal aus dem PDF ausgelesen): „We prove unconditionally that lim inf … ≥ 2/3; that at least (2/3 − o(1)) N(T, 2T) of the zeros are simple and on the critical line, and that at least (5/6 − o(1)) N(T, 2T) are distinct; with an optimised test family the three constants become 0.6725, 0.6725, 0.83625…“. Der Titel des Papiers fasst es zusammen: „MORE THAN TWO THIRDS OF THE ZEROS OF THE RIEMANN ZETA FUNCTION LIE ON THE CRITICAL LINE“, Autor: „CLAUDE“, datiert auf den 10. August 2026.
Die Vorgeschichte steht im Papier selbst. Dass unendlich viele Nullstellen auf der Geraden liegen, zeigte Hardy 1914; dass es ein positiver Anteil ist, Selberg 1942. Levinson brachte 1974 ein Drittel, Conrey 1989 mehr als 2/5, und über Bui–Conrey–Young, Feng sowie Pratt, Robles, Zaharescu und Zeindler steht der Rekord bei „κ > 5/12 = 0.4166…, where it has stood since 2020“. Dazu die Feststellung, die den Bruch markiert: „Every result in this line uses Levinson's method.“ Das neue Ergebnis nicht – es kommt aus Montgomerys Paarkorrelation von 1973.
Der technische Kern ist ein Tausch: Die Riemann-Vermutung wurde in Montgomerys Argument nur gebraucht, um die Nullstellen-Seite als Summe reeller Größen mit festem Vorzeichen lesen zu können. An diese Stelle setzt das Papier lineare Algebra – Sylvesters Trägheitssatz auf eine endliche Kompression von Weils hermitescher Form, dazu eine Rang-Spur-Ungleichung über von Neumanns Spurungleichung. Die analytischen Zutaten stammen von Baluyot, Goldston, Suriajaya und Turnage-Butterbaugh sowie von Goldston und Suriajaya; neu ist, wie das Papier ausdrücklich schreibt, die linearalgebraische Lesart ihrer Paarkorrelations-Summe. Die Einordnung liefert das Abstract gleich mit: „The constant 2/3 (resp. 0.6725) is Montgomery's (resp. Montgomery–Taylor's) constant for simple zeros under the Riemann hypothesis“ – bislang bedingte Konstanten, jetzt unbedingt.
Der Ablauf, nach Anthropics Darstellung: Jarred Sumner, Mitarbeiter ohne nennenswerte mathematische Ausbildung, bat das Modell, sich an der Riemann-Vermutung zu versuchen. „An unreleased research version of Claude found the new lower bound over two sessions in Claude Code, using a total of 31 million output tokens.“ In der ersten Sitzung erzeugte und verwarf es 650 Ideen; in der zweiten koordinierte es rund eineinhalb Tage lang etwa 60 Subagenten, die 2.400 Shell-Kommandos ausführten. Zwei Mathematiker im Haus – Levent Alpöge und Ralph Furman – prüften das Ergebnis; mit Eric Easley entstand die Lean-Formalisierung. Die Autorenzeile des Papiers verteilt die Verantwortung entsprechend: „The argument and its verification are the author's. Jarred Sumner posed the problem and guided the investigation. Ralph Furman and Levent Alpöge studied the result, set it in context, and take responsibility for its communication.“
Die Nachprüfbarkeit ist der eigentliche Unterschied zu früheren Meldungen dieser Art. Das öffentliche Repository `anthropics/zeta-23-lean` enthält nach eigener Beschreibung „a complete, `sorry`-free Lean 4 / Mathlib formalization of Theorems A–E of that paper, including proofs of every analytic input the argument uses“ – benannt werden unter anderem Weils explizite Formel, die Riemann-von-Mangoldt-Zählformeln, Chebyshev-Mertens-Abschätzungen und die verallgemeinerte Hilbert-Ungleichung von Montgomery und Vaughan. Und ausdrücklich: „Nothing is assumed: the top-level theorems have no hypotheses, the repository declares no axioms, and `#print axioms` on each headline theorem reports only Lean's three standard axioms `propext`, `Classical.choice`, `Quot.sound`.“ Toolchain ist Lean v4.33.0-rc2 mit gepinntem Mathlib-Commit. Außerhalb der Formalisierung sahen zwei ausgewiesene Fachleute auf das Papier: „We are grateful to Brian Conrey and Dan Goldston, two experts in this area, who generously examined the paper on short notice.“ Beide stehen in der Literaturliste des Papiers – Conrey mit der 2/5-Schranke von 1989, Goldston mit den analytischen Vorarbeiten, deren offene Frage hier beantwortet wird.
Was Anthropic ausdrücklich nicht behauptet: „We don't expect that the techniques Claude used will lead to proving the Riemann hypothesis.“ Die Vermutung verlangt alle Nullstellen; zwei Drittel sind zwei Drittel. Auch nicht belegt ist ein Vergleich mit menschlichen Forschungszeiträumen: Wie viele Vorarbeiten in den Kontext eingingen, mit welchen Werkzeugen gearbeitet wurde und wie oft die Kette zuvor gescheitert ist, steht in den begleitenden Materialien, nicht in einer unabhängigen Auswertung.
⚠️ Zur Beleglage: Gelesen und damit belegt haben wir Anthropics Forschungsseite vom 10.08.2026 sowie das Papier selbst – Letzteres liegt nur als PDF auf Anthropics CDN, das WebFetch nicht in Text auflöst; wir haben Abstract, Einleitung und Historie deshalb lokal aus den PDF-Streams ausgelesen und im englischen Original geprüft (bei der Extraktion verlorene fi/fl-Ligaturen sind in den Zitaten wiederhergestellt, ebenso der Umlaut in „Alpöge“). Ergänzend geöffnet: das Lean-Repository. Das Papier ist nicht begutachtet und liegt nicht auf arXiv; die inhaltliche Prüfung durch Conrey und Goldston geschah nach Anthropics eigener Formulierung „on short notice“ und ist keine Begutachtung. Wir sind keine Zahlentheoretiker und referieren die Aussagen des Papiers; die Korrektheit stützt sich auf den maschinell geprüften Lean-Beweis, dessen Rest-Risiko darin liegt, ob die formalisierten Sätze das aussagen, was der Fließtext behauptet. Welches Modell konkret gearbeitet hat, ist nicht offengelegt („an unreleased research version of Claude“); die Prozessangaben – 650 Ideen, 60 Subagenten, 2.400 Kommandos, 31 Millionen Token – sind sämtlich anbieter-selbstberichtet und von außen nicht überprüfbar.